区块链和人工智能中的数学基础

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[mathjax]

1. 点乘（Dot Product）

代数定义

[latex]mathbf{a} cdot mathbf{b} = sum_{i=1}^n a_i b_i = |mathbf{a}||mathbf{b}|cosθ[/latex]

例如：两个向量 $mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)$ 和 $mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3)$ 的点乘计算公式为：
$$
mathbf{a} cdot mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3
$$
该定义表明点乘是各分量乘积之和，结果为标量。

几何定义

点乘的几何意义为：
$$
mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| |mathbf{b}| costheta
$$
其中 $theta$ 为两向量夹角，$|mathbf{a}|$ 表示向量模长

工程应用

• 投影计算：计算向量$mathbf{a}$在$mathbf{b}$方向的投影长度（用于物理引擎的力分解）
• 正交性验证：点乘为零时向量垂直（应用于密码学签名验证）

代码实现

{{< tabs default=”python” >}}
{{< tab lang=”python” >}}

import numpy as np

a = np.array([3, 4])
b = np.array([5, 2])
dot_product = np.dot(a, b) 
{{< /tab >}}

{{< tab lang="rust" >}}
```rust
fn dot_product(a: &[f64], b: &[f64]) -> f64 {
    a.iter().zip(b.iter()).map(|(x, y)| x * y).sum()
}
println!("{}", dot_product(&[3.0, 4.0], &[5.0, 2.0]));

{{< /tab >}}

{{< tab lang=”rust with ndarray” >}}

use ndarray::{Array1, array};  // 引入核心类型

fn main() {
    // 创建一维数组（向量）
    let a: Array1<f64> = array![3.0, 4.0];
    let b: Array1<f64> = array![5.0, 2.0];

    // 使用内置dot方法
    let dot_product = a.dot(&b);
    println!("标准点乘结果: {}", dot_product);  // 输出23.0
}

{{< /tab >}}
{{< /tabs >}}